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計(jì)算二重積分的基本思路是將其化作累次積分(也即兩次定積分),要把二重積分化為累次積分,有兩個(gè)主要的方式:一是直接使用直角坐標(biāo),二是使用極坐標(biāo)。這是我們計(jì)算二重積分的兩個(gè)主要的武器。

首先,對直角坐標(biāo)來說,主要考點(diǎn)有兩個(gè):一是積分次序的選擇,基本原則有兩個(gè):一是看區(qū)域,選擇的積分次序一定要便于定限,說得更具體一點(diǎn),也就是要盡量避免分類討論;二是看函數(shù),要盡量使第一步的積分簡單,選擇積分次序的最終目的肯定是希望是積分盡可能地好算一些,實(shí)踐表明,大多數(shù)時(shí)候,只要讓二重積分第一步的積分盡可能簡單,那整個(gè)積分過程也會比較簡潔,所以我們在拿到一個(gè)二重積分之后,可以根據(jù)它的被積函數(shù)考慮一下第一步把哪個(gè)變量看成常數(shù)更有利于計(jì)算,從而確定積分次序。二是定限,完成定限之后,二重積分就被化為了兩次定積分,就可以直接計(jì)算了。

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以上是我們計(jì)算二重積分的主體思路,在此基礎(chǔ)之上,我們還可以利用對稱性,它在二重積分的計(jì)算中雖然屬于輔助性的技能,但如果恰當(dāng)使用的話,還是可以明顯地簡化計(jì)算。

二重積分中的對稱性分為兩種:一是奇偶性,二是輪換對稱性。一般來說,對稱性應(yīng)該使用在拿到一個(gè)二重積分之后的第一步,只要積分區(qū)域關(guān)于某坐標(biāo)軸是對稱的,就要先檢驗(yàn)被積函數(shù)是否具有相應(yīng)的對稱性,尤其要注意有沒有奇函數(shù),以盡可能地簡化計(jì)算。

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